Übungen zur Vorlesung über Komplexe Flächen WS 92/93

Aufgabenblatt 4

20) Sei X ein topologischer Raum, S eine Garbe abelscher Gruppen auf X. S genügt dem Identitätsprinzip, falls folgendes gilt: Falls {} ≠ U ⊂ V, s ∈ S(U) und ρ_{V U}(s) = 0, dann s = 0. Zeige, daß der espace étalé von S genau dann Hausdorff ist, wenn S dem Identitätsprinzip genügt.

21)

i)Sei X eine topologischer Raum, S eine Garbe, U = {U_{1}, U_{2}} eine azyklische Überdeckung. Leite für diesen Spezialfall den Satz von Leray mit Hilfe von Maier-Vietoris her.

ii)Für jede abgeschlossene komplexe Untermannigfaltigkeit X von ℂ^{n} gilt H^{k}(X, O) = {0} für alle k > 0. Benutze dies, um H^{k}(X, O) für X = C^{2} \ {(0, 0)} auszurechnen.

22) Sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, x ∈ X. Zeige, daß die kompakten Mengen K ⊂ X mit x ∈ K ein gerichtetes System bilden, sodaß

lim_{→} π_{1}(K, x) = π_{1}(X, x).

23) * Finde ein Beispiel für eine Garbe, für die es keine azyklische Überdeckung gibt.

Abgabefrist: 19. November 1992