Übungen zur Vorlesung über Komplexe Flächen WS 92/93 Aufgabenblatt 3

14) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, x ∈ M, n = dim_{ℝ}(M), X = M \ {x}. Zeige mit Hilfe der Mayer-Vietoris-Sequenz, daß H_{DR}^{k}(M) ≃ H_{DR}^{k}(X) für alle k < n − 1.

15) Berechne die DeRham-Gruppen des Torus T = ℝ^{n}/ℤ^{n} mit Hilfe der Künneth-Formel.

16)

i)Sei B die Prägarbe der beschränkten holomorphen Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit. Wann ist B eine Garbe, und was ist die zu B assoziierte Garbe?

ii)Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit wird eine Prägarbe definiert durch H(U) = H_{DR}^{1}(U). Für V ⊂ U sei i : V → U die Injektionsabbildung, i^{∗} : H_{DR}^{1}(U) → H_{DR}^{1}(V). Dann sei ρ_{V,U} : H(U) → H(V) gegeben durch i^{∗}. Man bestimme die zugeordnete Garbe.

17) Zeige, daß man ℙ_{K} × ℙ_{n} in ℙ_{(n+1)(k+1)−1} einbetten kann.

18) Sei K ein Körper, K[X_{1}, …, X_{n}]_{d} der K-Vektorraum der homogenen Polynome in n Veränderlichen vom Grad d. Bestimme die Dimension von K[X_{1}, …, X_{n}]_{d}.

19) Seien X, Y topologische Räume, A Garbe auf X, f : X → Y eine stetige Abbildung.

Zeige, daß durch

(f_{∗}A)(U) = A(f^{−1}(U))

eine Garbe auf Y definiert wird (Das ist die direkte Bildgarbe).

Abgabefrist: 13. November 1992