Übungen zur Vorlesung über Komplexe Flächen WS 92/93

Aufgabenblatt 2

7) Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit, A eine abgeschlossene komplexe Untermannigfaltigkeit. Zeige, daß jede beschränkte holomorphe Funktion auf X \ A konstant ist.

8) Bestimme die Vektorräume der holomorphen Vektorfelder und der holomorphen Differentialformen auf ℙ_{1}(ℂ).

9) Zeige, daß durch

Q = {[x_{0} : x_{1} : x_{2}] ∈ ℙ_{2}(ℂ) : x_{0}x_{2} = x_{1}^{2}}

eine abgeschlossene komplexe Untermannigfaltigkeit von ℙ_{2}(ℂ) definiert wird, und daß diese Untermannigfaltigkeit biholomorph zu ℙ_{1}(ℂ) ist.

10) Eine Hopffläche wird definiert durch die Äquivalenzrelation

(x_{1}, x_{2}) ∼ (y_{1}, y_{2}) ⟺ ∃k ∈ ℤ : y_{i} = 2^{k}x_{i}}

auf ℂ^{2} \ {(0, 0)}. Man zeige, daß diese Hopffläche homöomorph zu S^{1} × S^{3} ist.

11) Sei ein Vektorraumbündel als ein Paar von Mannigfaltigkeiten E → M mit einer Projektionsabbildung π : E → M, die surjektiv ist und überall maximalen Rang hat, sodaß jede Faser eine Vektorraumstruktur besitzt, sodaß Addition und Skalarmultiplikation globale glatte Abbildungen induzieren, definiert. Dann gibt es zu jedem Punkt p ∈ M eine offene Umgebung U, sodaß π^{−1}(U) isomorph zu einem trivialen Vektorraumbündel ist.

12) * Zeige, daß auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Gruppe der Diffeomorphismen transitiv wirkt.

13) * Auf ℝ^{4} werde eine fast-komplexe Struktur definiert durch J(\frac{∂}{∂x}_{1}) = \frac{∂}{∂x}_{2} und J(\frac{∂}{∂x}_{3}) = (1 + x_{1}^{2})\frac{∂}{∂x}_{4}. Man zeige,daß für jede offene Menge U ⊂ ℝ^{4}, jede holomorphe Abbildung F : (U, J) → ℂ^{2} und jeden Punkt p ∈ U, der reelle Rang von T_{F} : T_{p}U → T_{F (p)}ℂ^{2} höchstens 2 beträgt, und folgere, daß es für diese fast-komplexe Struktur keine lokalen holomorphen Koordinaten gibt.

Abgabefrist: 6. November 1992